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幾何学における標準形理論の構築とその応用

線形代数学ではいろいろな行列の標準形を学びます。最も印象的なものは任意の実対称行列は直交行列で対角化可能であるという定理です。少し見方を変えると、実対称行列の全体に直交行列全体のなす「群」が作用し、この作用による実対称行列の軌道が必ずある対角行列と交わると言い換えられます。すると、実対称行列の固有値のように、直交行列の作用で不変な性質は対角行列さえ調べれば十分ということになります。一方、数学では高次元の図形を研究対象にすることがあります。この高次元の図形は目には見えませんが普通の図形のように角度や曲線の長さ、面積や体積が定義されリーマン多様体と呼ばれています。リーマン多様体上に回転のような群の作用を考え、先ほど述べた定理を拡張した標準形理論について研究しています。