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ランダム曲線の交差現象と付随する関数空間の相互解析

ランダムウォークのスケール極限として現れるブラウン運動は確率過程の中で最も基本的なモデルの一つです。花粉内の微粒子の運動のモデルとして提唱されてから、物理学に留まらず株価の変動と言った経済学等にも応用されています。ブラウン運動の性質の一つに軌跡の交差現象があります。これは、複数の独立なブラウン運動の軌跡について、1・2次元空間内では何本でも同時に交わる点がある一方で、3次元では2本は交わるが3本は同時に交わらず、4次元以上では2本すら交わらない、といったもので、ブラウン運動と対応する関数空間=ソボレフ空間の性質と関係があります。私はこのような関係をディリクレ形式の枠組みから一般化し、交差現象という確率論的な現象から実解析学的な性質を取り出すことを 目指しています。